Question

4．為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：

階梯級別	第一階梯水量	第二階梯水量	第三階梯水量
月用水量范圍（單位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

從本市隨機抽取了10戶家庭，統計了同一個月的用水量，得到如圖所示的莖葉圖．
（1）現要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數的分布列和均值；
（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到n戶月用水量為第二階梯水量的可能性最大，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數X的取值可能為0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{10}^{3}}$，可得X的概率分布列及其數學期望．
（2）設從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B$（10，\frac{3}{5}）$．P（Y=k）=${∁}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$（k=0，1，2，…，10）．設t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k-1）．由t＜1，則k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k-1），即可得出．

解答 解：（1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數X的取值可能為0，1，2，3．則P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{10}^{3}}$，可得：P（X=0）=$\frac{1}{30}$，P（X=1）=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{1}{6}$．
可得X分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．
（2）設從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B$（10，\frac{3}{5}）$．
P（Y=k）=${∁}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$（k=0，1，2，…，10）．
設t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$．
若t＞1，則k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k-1）．若t＜1，則k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k-1），
k取6，或7的可能性比較大．
經過驗證k=6時，$\frac{P（Y=6）}{P（Y=7）}$=$\frac{7}{6}$＞1．∴n=6．

點評 本題考查了莖葉圖的性質及其應用、超幾何分布列與二項分布列的概率計算與數學期望計算公式、組合數的計算公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．