Question

（2010•濰坊三模）在四棱錐S-ABCD中，ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，SD⊥平面ABCD，E為SC的中點，且AB=AD=l，SD=CD=2．
（1）若P為SD上的任意一點，能否在SB上找一點H，使得EH⊥BP？請說明理由；
（2）求直線SB與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）當H為SB的中點時，EH⊥BP，根據中位線定理可知HE∥BC，根據線面垂直的性質可知SD⊥BC，取CD的中點M，連BM，根據勾股定理的逆定義可知BC⊥BD又BD∩SD=D，滿足線面垂直的判定定理所需條件，則BC⊥面SBD，從而EH⊥面SBD，可證得結論；
（2）以DA、DC、DS分別為x、y、z軸建立坐標系，求出向量

BS

、

BD

、

BE

，然后求出平面BDE的法向量為

n

=（x，y，z）根據cos＜

n

，

BS

＞=

BS • n

|BS| • |n|

可得直線SB與平面BDE所成角的正弦值．

解答：解：（1）當H為SB的中點時，EH⊥BP
∵H、E分別為SB、SC的中點∴HE∥BC
又SD⊥平面ABCD∴SD⊥BC，
由條件知，BD²=AB²+AD²=2
取CD的中點M，連BM，則四邊形ABMD為矩形
∴BC²=CM²+BM²=2∴BC²+BD²=CD²
∴BC⊥BD又BD∩SD=D
∴BC⊥面SBD
∴EH⊥面SBD
∴在SB上存在一點H，使得EH⊥BP
（2）∵SD⊥平面ABCD∴SD⊥CD，SD⊥AD
又AB∥CD，∠DAB=90°∴AD⊥CD
以DA、DC、DS分別為x、y、z軸建立坐標系，則
D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），E（0，1，1）
∴

BS

=（-1，-1，2），

BD

=（-1，-1，0），

BE

=（-1，0，1）
設平面BDE的法向量為

n

=（x，y，z）則

BD • n =0 BE • n =0

即

-x-y=0 -x+z=0

取x=1，則y=-1，z=1則

n

=（1，-1，1）
則cos＜

n

，

BS

＞=

BS • n

|BS| • |n|

=

2

6 × 3

=

2

3

∴直線SB與平面BDE所成角的正弦值

2

3

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及利用空間向量的方法求線面所成角，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．