Question

（本小題滿分14分）已知函數（為常數，）.

（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求的值；

（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數；

（Ⅲ）若對任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實數的取范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）滿足條件；（Ⅱ）在上是增函數；（Ⅲ）實數的取值范圍為.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。以及不等是的求解，和函數單調性的判定的綜合運用。

（1）因為

由已知，得即， 得到a的值，

（2）當時， 

當時，.又，故在上是增函數

（3）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.

利用構造函數得到結論。

解：……………1分

（Ⅰ）由已知，得即，……3分

經檢驗，滿足條件.……………………………………4分

（Ⅱ）當時，…………5分

當時，.又，故在上是增函數

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.

記

則…………………………9分

當時，有，且在區間（1，2）上遞減，且，則不可能使恒成立，故必有…………11分

當，且

若，可知在區間上遞減，在此區間上有，與恒成立矛盾，故，這時，即在（1，2）上遞增，恒有滿足題設要求.

，即，所以，實數的取值范圍為.……………………14分