Question

（本小題滿分12分）已知圓C的圓心在直線y=2x上，且與直線l：x+y+1=0相切于點P（-1,0）.
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若A（1,0），點B是圓C上的動點，求線段AB中點M的軌跡方程，并說明表示什么曲線.

Answer 1

（Ⅰ）圓C：；
（Ⅱ），表示以（1,1）為圓心，為半徑的圓.

解析試題分析：）設圓心C（a，b）半徑為r,要求圓心的方程需要建立關于a,b,r的三個方程，因為圓心在直線y=2x上,所以b="2a," 又C落在過P且垂直于l的直線y=x+1上,所以b=a+1,
又因為r=|CP|,從而可求出a,b,r的值.
(II)本小題屬于相關點法求動點的軌跡方程，設M（x，y），B（x₀，y₀），則有，
可得，然后將B的坐標代入圓C的方程即可得到M的軌跡方程，再通過方程可判斷出M的軌跡也是圓.
（Ⅰ）設圓心C（a，b）半徑為r，則有b=2a，…………………1分
又C落在過P且垂直于l的直線y=x+1上，…………………3分
故有b=a+1，解得a=1，b=2，從而r=…………………5分
∴圓C：……………………………………6分
（Ⅱ）設M（x，y），B（x₀，y₀），則有，……………………8分
解得，代入圓C方程得，…………10分
化簡得……………11分
表示以（1,1）為圓心，為半徑的圓.………12分
考點：求圓的方程，相關點法求軌跡方程.
點評：求圓的方程無論是設圓的標準方程還是設圓的一般方程都要從題目中找到三個方程條件求解，要注意圓的幾何性質的應用.用相關點法求軌跡方程時，要注意把相關點的坐標用動點的坐標表示出來，然后代入相關點所滿足的方程即可得到所求動點的軌跡方程.