Question

【題目】已知函數，，其中a為常數，e是自然對數的底數，曲線在其與y軸的交點處的切線記作，曲線在其與x軸的交點處的切線記作，且.

（1）求之間的距離；

（2）若存在x使不等式成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由導數的幾何意義求出，因為，所以切線斜率相等求出，求得兩直線的方程，代入兩平行直線間的距離公式即可得解；(2)不等式化簡為

，令，利用導數求出的最大值，根據不等式有解即可求出m的取值范圍.

（1）函數的圖像與y軸的交點為，函數的圖像與x軸的交點為，

而，，

∵，∴，得，又∵，∴.

∴，，∴切線過點，斜率為；

切線過點，斜率為，

，，

∴兩平行切線間的距離.

（2）由，得，故在時有解，令，則只需，

當時，；

當時，可求得，

∵，當且僅當時取等號，而，

∴，故，即，

∴函數在區間上單調遞減，故，即，

∴實數m的取值范圍為.