Question

已知在(2x+

3

3 x

)n的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第2項的二項式系數(shù)的比為5：2．
（1）求n的值；
（2）求含x²的項的系數(shù)；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（1）由

C

2 n

：

C

1 n

=5：2可解得n；
（2）設(shè)出其展開式的通項為T_r+1，令x的冪指數(shù)為2即可求得r的值；
（3）展開式中系數(shù)最大的項為T_r+1，利用T_r+1項的系數(shù)≥T_r+2項的系數(shù)且T_r+1項的系數(shù)≥T_r項的系數(shù)即可．

解答：解（1）∵

C

2 n

：

C

1 n

=5：2，
∴n=6…3分
（2）設(shè)(2x+

3

3 x

)n的展開式的通項為T_r+1，則T_r+1=

C

r 6

•2^6-r•3^r•x6-

4

3

r，
令6-

4

3

r=2得：r=3．
∴含x²的項的系數(shù)為

C

3 6

2^6-33³=4320；…7分
（3）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為T_r+1，則

C r n 2n-r3r ≥C r-1 n 2n-r+13r-1 C r n 2n-r3r ≥C r+1 n 2n-r-13r+1

，
∴r=4．
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₅=4860x

2

3

…12分．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，求展開式中系數(shù)最大的項是難點，考查解不等式組的能力，屬于難題．