Question

 [2012·遼寧卷] 如圖1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

(1)證明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱錐A′－MNC的體積．

(錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高)

圖1－5

Answer 1

解：(1)(證法一)

連結AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，

所以M為AB′中點，

又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，

AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

(證法二)

取A′B′中點P，連結MP，NP，

M、N分別為AB′與B′C′的中點，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)(解法一)

連結BN，由題意A′N⊥B′C′，

平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，

所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝B′C′＝1，故

V_A′－MNC＝V_N－A′MC＝V_N－A′BC＝V_A′－NBC＝.

(解法二)

V_A′－MNC＝V_A′－NBC－V_M－NBC＝V_A′－NBC＝.