Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線C′：-=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（-m，-n），進(jìn)而可知-=1、又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無關(guān)．
解答：解：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線-=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關(guān)的定值．
設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（-m，-n），
其中-=1、又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
由k_PM=，k_PN=，
得k_PM•k_PN=•=，
將y²=x²-b²，n²=m²-b²，代入得k_PM•k_PN=．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．