Question

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，其左準線與x軸相交于點N，并且滿足，．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設A、B是這個橢圓上的兩點，并且滿足，當時，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，解此方程組能夠得到所求橢圓的方程．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+2），由消去x得，解得．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再根據韋達定理結合題設條件進行求解．
解答：解：（1）由于，∴（3分）
解得，從而所求橢圓的方程為．（5分）
（2）∵三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），
其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，
即．（6分）
根據條件可知
解得．（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，得
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
∴從而
消去y₂得．（10分）
令，任取，則=．∴φ（λ）是區間上的減函數，（12分）
從而，
即，∴，
解得或，適合0＜|k|＜．
因此直線AB的斜率的取值范圍是．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置和應用，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．