Question

【題目】已知圓與直線相離，是直線上任意點，過作圓的兩條切線，切點為，.

（1）若，求；

（2）當點到圓的距離最小值為時，證明直線過定點.

Answer 1

【答案】(1)4;(2)證明見解析.

【解析】

(1) 連接交于點，可求出，從而可求出，在直角三角形中，可求出，由勾股定理可知的長度.

(2)由距離最小值可知圓心到直線的距離為，結合點到直線的距離公式可求出圓心坐標，設，結合勾股定理可知，從而可求出以為圓心，為半徑的圓的方程，聯立圓與圓，整理可得，令，即可求出定點的坐標.

(1)解：連接交于點，由圓的性質可知，且，

因為，所以其半徑，即，

所以，則，

所以，則

(2)解：過作直線的垂線，當垂足為時，點到圓的距離最小，

則，解得或(舍去)，所以，

設，則，

則以為圓心，為半徑的圓，

則是圓與圓的公共弦，則聯立得 ，

兩方程相減可得，令 ，解得

所以直線過定點.