Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

設二次函數，對任意實數，恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式和值域；

（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，

并說明理由；

（3）已知，求：.

Answer 1

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

解：（1）由恒成立等價于恒成立，…………………………1分

從而得：，化簡得，從而得，所以，………3分

其值域為.………………………………………………………………………………………………4分

（2）解：當時，數列在這個區間上是遞增數列，證明如下：

設，則，所以對一切，均有；………………………………………………………………………………………………7分

，

從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列.………………………10分

注：本題的區間也可以是、、等無窮多個.

另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則

即…………………………7分

又當時，，所以對一切，均有且，所以數列在區間上是遞增數列.…………………………10分

（3）（文科）由（2）知，從而；

，即；  ………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，……………………………………14分

從而得，即，所以 ，

所以，所以，  ………………16分

所以，

.    ……………………………………………………18分

（3）（理科）由（2）知，從而；

，即；………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，………………………………………………………14分

從而得，即，所以 ，

所以，所以，

所以，

.………………………………………………………16分

即，所以，恒成立

當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。

當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。

所以，對任意，有。又非零整數，…………………………………18分