Question

求下列函數的值域：
（1）y=；
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx；
（3）y=2cos+2cosx．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式化簡y=為y=2cos²x+2cosx，然后配方整理求出最值；
（2）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化簡y=sinx+cosx+sinxcosx，為y=．根據t的范圍求出函數的最值；
（3）利用兩角和的余弦函數化簡y=2cos+2cosx，然后利用兩角和的余弦函數推出y=2cos．然后求出最值．
解答：解：（1）y===2cos²x+2cosx=2-．
于是當且僅當cosx=1時取得y_max=4，但cosx≠1，
∴y＜4，且y_min=-，當且僅當cosx=-時取得．故函數值域為．
（2）令t=sinx+cosx，則有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=．
有y=f（t）=t+=．又t=sinx+cosx=sin，
∴-≤t≤．故y=f（t）=（-≤t≤），
從而知：f（-1）≤y≤f（），即-1≤y≤+．即函數的值域為．
（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx
=2=2cos．
∵≤1
∴該函數值域為[-2，2]．
點評：本題是基礎題，考查三角函數的最值的求法，二倍角公式、兩角和的正弦函數、余弦函數的應用，換元法的應用，（2）是難度較大題目．