Question

下列命題中：
①函數f(x)=x+

2

x

(x∈(0，1))的最小值是2

2

；
②對于任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可導函數，則f′（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件；
④已知存在實數x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，則實數a的取值范圍是a≥2．
其中正確的命題是

②③

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式判斷．②利用奇偶函數的性質判斷．③利用導數與函數的極值之間的關系進行判斷．④利用絕對值的幾何意義判斷．

解答：解：①因為f(x)=x+

2

x

≥2

x? 2 x

=2

2

，當且僅當x=

2

x

即x2=2，x=

2

取等號，但

2

∉(0，1)，所以f（x）的最小值不是2

2

，所以①錯誤．
②由題意知函數f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，當x＞0時，函數f（x）為增函數，g（x）為增函數，則當x＜0時，函數f（x）為增函數所以f′（x）＞0，g（x）為減函數，所以g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x）成立，所以②正確．
③對應可導函數y=f（x），若y=f（x）在x=x₀處取到極值，則必有f′（x₀）=0．但當f′（x₀）=0，則函數在x=x₀處不一定取到極值，比如函數f（x）=x³單調遞增，函數的導數為f'（x）=2x²，當x=0時，f′（x₀）=0，所以f′（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件，所以③正確．
④因為根據絕對值的幾何意義得|x+1|-|x-1|≤2，所以要使存在實數x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，則a≤2，所以④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷，牽扯的知識點較多，綜合性較強．要求熟練掌握相關的知識．