Question

已知定義在R上的函數f（x）=x²（ax-3），其中a為常數．
（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數，求a的取值范圍；
（3）若函數g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求正數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x=1是函數f（x）的一個極值點則知f'（1）=0，代入導函數即可；
（2）要求函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數，則要求導函數f'（x）在區間（-1，0）大于等于零即可，另外要注意對a的討論；
（3）要求函數g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，即求函數g（x）的極值并將之與函數端點值
g（0），g（2）進行比較大小，得出在函數g（x）[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2），再根據條件在x=0處取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可
解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個極值點，
∴f'（1）=0，
∴a=2
（2）①當a=0時，f（x）=-3x²在區間（-1，0）上是增函數，∴a=0符合題意；
②當a≠0時，f'（x）=3ax，令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=
當a＞0時，對任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當a＜0時，當時，f'（x）＞0，
∴，∴-2≤a＜0（符合題意）
綜上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），顯然有△=4a²+4＞0．
設方程（*）的兩個根為x₁，x₂，由（*）式得，不妨設x₁＜0＜x₂．
當0＜x₂＜2時，g（x₂）為極小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
當x₂≥2時，由于g（x）在[0，2]上是單調遞減函數
所以最大值為g（0），所以在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0處取得最大值
所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24，解得a≤，又因為a＞0，所以．
故答案為：（1）a=2；（2）a≥-2；（3）
點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，關鍵在于比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 的大小，從而得到函數的最值，另外還有分類討論的思想，屬于基礎題．