Question

在的展開式中，已知第5項的系數與第3項的系數之比是56：3．
（1）求展開式中所有項的系數之和及奇數項的二項式系數之和；
（2）求展開式中的所有有理項；
（3）求展開式中系數絕對值最大的項．
注：所涉及的系數均用數字作答．

Answer 1

解：（1）由，解得n=10…
所有項的系數之和為（1-2）¹⁰=1
奇數項的二項式系數之和為2^10-1=512
（2）因為通項：
當5-為整數，r可取0，6
展開式是常數項，于是有理項為T₁=x⁵和T₇=13400
（3）設第r+1項系數絕對值最大，則
解得，于是r只能為7
所以系數絕對值最大的項為
分析：（1）利用第5項的系數與第3項的系數之比是56：3，求出n的值，即可通過x=1求展開式中所有項的系數之和及奇數項的二項式系數之和；
（2）通過二項式定理的通項公式，利用x的指數為0，求出展開式中的所有有理項；
（3）通過求展開式中系數絕對值最大的項．
點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數的性質，通項公式的應用，考查計算能力．