Question

由原點O向三次曲線y=x³－3ax²＋b x (a≠0)引切線,切于不同于點O的點，再由P₁引此曲線的切線，切于不同于的點,如此繼續地作下去，……,得到點列{ },試回答下列問題:

(1)求x₁;

(2)求x _n與x _n+1的關系;

(3)若a>0,求證:當n為正偶數時, x _n<a;當n為正奇數時, x _n>a.

Answer 1

答案：
解析：

；x n＋2xn+1－3a=0. (1)由y=x3－3ax2＋b x, ① 得y′=3x2－6ax＋b. 過曲線①上點P1(x1, y1)的切線l1的方程是 由它過原點,有 (2)過曲線①上點Pn+1(xn+1,yn+1)的切線ln+1的方程是 由ln+1過曲線①上點P n(x n, yn),有 ∵x n－xn+1≠0,以x n－xn+1除上式,得 以x n－xn+1除之,得x n＋2xn+1－3a=0. (3)法1 由(2)得 故數列{x n－a}是以x 1－a=為首項,公比為－的等比數列, ∵a>0,∴當n為正偶數時, 當n為正奇數時, 解法2 = = =…… = = =.以下同解法1.