Question

如圖所示，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監測點，B、C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米．某時刻，B收到發自靜止目標P的一個聲波信號，8秒后A、C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒．
（1）設A到P的距離為x千米，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
（2）求P到海防警戒線AC的距離（結果精確到0.01千米）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可用x分別表示PA，PC，PB，再利用cos∠PAB求得AB，同理求得AC，進而根據cos∠PAB=cos∠PAC，得到關于x的關系式，求得x．
（2）作PD⊥AC于D，根據cos∠PAD，求得sin∠PAD，進而求得PD．

解答：解：（1）依題意，有PA=PC=x，PB=x-1.5×8=x-12．
在△PAB中，AB=20cos∠PAB=

PA2+AB2-PB2

2PA•AB

=

x2+202-(x-12)2

2x•20

=

3x+32

5x

同理，在△PAB中，AC=50cos∠PAC=

PA2+AC2-PC2

2PA•AC

=

x2+502-x2

2x•50

=

25

x

∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴

3x+32

5x

=

25

x

解之，得x=31．

（2）作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD=

25

31

得sin∠PAD=

1-cos2∠PAD

=

4 21

31

∴PD=PAsin∠APD=31•

4 21

31

=4

21

≈18.33千米
答：靜止目標P到海防警戒線AC的距離為18.33千米．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．要充分利用三角形的邊角關系，利用三角函數、正弦定理、余弦定理等公式找到問題解決的途徑．