Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中點
（Ⅰ）求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

Answer 1

分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根據異面直線所成角的定義可知∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．
（Ⅱ）可根據題中條件計算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根據面面垂直的判定定理即可得證．

解答：解：（1）如圖，因為C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B1M=

B1C12+MC12

=

2

∴tan∠MA₁B₁=

B1M

A1B1

=

2

即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為

2

（Ⅱ）∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BM①
由（1）知B1M=

B1C12+MC12

=

2

，BM=

BC2+CM2

=

2

，B₁B=2
∴B1M2+BM2= B1B2
∴BM⊥B₁M②
∵A₁B₁∩B₁M=B₁
∴由①②可知BM⊥面A₁B₁M
∵BM?面ABM
平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

點評：本題主要考察異面直線所成角的定義以及面面垂直的證明，屬常考題型，較難．解題的關鍵是要掌握異面直線所成角的定義（即將異面直線轉化為相交直線所成的角）和面面垂直的判定定理！