Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊，高CD=3，點E是線段BD上異于點B，D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）求V（x）的表達式；
（2）當x為何值時，V（x）取得最大值？
（3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求底面面積，再求出高，即可求V（x）的表達式；
（2）利用導數，來求V（x）的最大值，
（3）過F作MF∥AC交AD于M，得到異面直線所成的角，然后求異面直線AC與PF所成角的余弦值．
解答：解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，

V（x）=（）

（2），所以x∈（0，6）時，v'（x）＞0，V（x）單調遞增；
時v'（x）＜0，V（x）單調遞減；
因此x=6時，V（x）取得最大值；
（3）過F作MF∥AC交AD與M，
則，
PM=，，
在△PFM中，，
∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為．
點評：本題考查幾何體的體積，導數的應用，異面直線所成的角，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．