Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=r（r＞0）且a_n+2=qa_n（q＞0，q≠1），又設b_n=a_2n-1-a_2n（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項b_n及前n項和S_n；
（Ⅱ）假設對任意n＞1都有S_n＞b_n，求r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 bn=a_2n-1-a_2n =qa_2n-3-qa_2n-2 =q（a_2n-3-a_2n-2）=qb_n-1，故數列{b_n}是以q為公比的等比數列，b₁=a₁-a₂=1-r，由此求得數列{b_n}的通項b_n及前n項和S_n ．
（2）由于 對任意n＞1都有S_n＞b_n，故 s₂＞b₂，化簡可得 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，再結合條件求得r的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得 bn=a_2n-1-a_2n =qa_2n-3-qa_2n-2 =q（a_2n-3-a_2n-2）=qb_n-1，
故數列{b_n}是以q為公比的等比數列，b₁=a₁-a₂=1-r，
∴bn=qn-1(1-r)，
由等比數列前n項和公式求得 sn=(1-r)•

1-qn

1-q

．
（2）∵對任意n＞1都有S_n＞b_n，
∴s₂＞b₂，即(1-r)•

1-q2

1-q

＞q^n-1（1-r），即 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．
再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，∴r＜1．
又r＞0，∴1＞r＞0，即 r∈（0，1），
故r的取值范圍為 （0，1）．

點評：本題主要考查根據遞推關系求數列的通項公式，等比關系的確定，等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．