【題目】已知數列{bn}是等差數列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求數列{bn}的通項公式bn；
(2)設數列{an}的通項an＝loga
(其中a＞0且a≠1)．記Sn是數列{an}的前n項和，試比較Sn與
logabn＋1的大小，并證明你的結論.
【答案】（1）bn＝3n－2.（2）當a＞1時，Sn＞
logabn＋1，當0＜a＜1時，Sn＜logabn＋1
【解析】
(1)設數列{bn}的公差為d，
由題意得
∴bn＝3n－2.
(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga
＋…＋loga
＝loga
而logabn＋1＝loga
，于是，比較Sn與logabn＋1的大小比較
(1＋1)
與的大小.
取n＝1，有1＋1＝
>
＝
，
取n＝2，有(1＋1)>>
＝
.
推測(1＋1)…＞，(*)
①當n＝1時，已驗證(*)式成立；
②假設n＝k(k≥1)時(*)式成立，即(1＋1)
＞
，
則當n＝k＋1時，
(1＋1)
>
.
∵
－
＝
>0，∴
，
從而(1＋1)
，即當n＝k＋1時，(*)式成立．由①②知(*)式對任意正整數n都成立．于是，當a＞1時，Sn＞logabn＋1，當0＜a＜1時，Sn＜logabn＋1
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【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
，其中
為參數，
.在以坐標原點
為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
.
(1)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；
(2)若
是曲線上的動點，
為線段
的中點.求點到直線的距離的最大值.
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【題目】甲、乙兩人投籃命中的概率分別為
與
，各自相互獨立.現兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球.
（1）求比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1的概率；
（2）設
表示比賽結束后甲、乙兩人進球數的差的絕對值，求的概率分布和數學期望
.
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【題目】在含有
個元素的集合
中，若這個元素的一個排列（
，
，…，
）滿足
，則稱這個排列為集合
的一個錯位排列（例如：對于集合
，排列
是
的一個錯位排列；排列
不是的一個錯位排列）.記集合的所有錯位排列的個數為
.
（1）直接寫出
，
，
，
的值；
（2）當
時，試用
，
表示，并說明理由；
（3）試用數學歸納法證明：
為奇數.
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【題目】某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數字作答）.
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【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（θ為參數），直線l的參數方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l的距離的最大值為
，求a.
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【題目】現有一款智能學習APP，學習內容包含文章學習和視頻學習兩類，且這兩類學習互不影響．已知該APP積分規則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累計3分鐘積2分，每日上限積6分．經過抽樣統計發現，文章學習積分的概率分布表如表1所示，視頻學習積分的概率分布表如表2所示．
（1）現隨機抽取1人了解學習情況，求其每日學習積分不低于9分的概率；
（2）現隨機抽取3人了解學習情況，設積分不低于9分的人數為
，求的概率分布及數學期望．
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