Question

（本小題滿分13分）已知函數（）.

（1）若函數有三個零點分別為，且，，求函數的單調區間；

（2）若，，證明：函數在區間(0，2)內一定有極值點；

（3）在（2）的條件下，若函數的兩個極值點之間的距離不小于，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調遞減區間是（－3，1），單調遞增區間是

（2）略（3）

【解析】（1）因為，又，，則

，                                                ……………1分

因為x1，x2是方程的兩根，

則，，得，，                                    ……………3分

所以

.

令    解得：                                           

故的單調遞減區間是（－3，1），單調遞增區間是．             ……………5分

（2）因為，，所以，即.

又，，所以，即.                       …………… 7分

于是，，.     …………… 8分

①當時，因為，而在區間內連續，則在區間內至少有一個零點，設為x=m，則在，>0，單調遞增，在，<0，單調遞減，故函數在區間內有極大值點x=m；                            ……………9分

②當時，因為，則在區間（1，2）內至少有一零點.

同理，函數在區間(1，2)內有極小值點.            

綜上得函數在區間(0，2)內一定有極值點．                                   …………… 10分

（3）設m，n是函數的兩個極值點，則m，n也是導函數的兩個零點，由（2）得，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.                               …………… 12分

又，，所以，即.

因為，所以. 

綜上分析，的取值范圍是.                                            ……………13分