Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我們由三垂線定理，得CD⊥PD，結合線面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，進而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（II）過點B作BE∥CA，且BE=CA，連接AE．則∠PBE是AC與PB所成的角，解三角形PBE，即可得到AC與PB所成角的余弦值．

解答：解：（I）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（II）過點B作BE∥CA，且BE=CA，連接AE．
則∠PBE是AC與PB所成的角，（5分）
可求得AC=CB=BE=EA=

2

．（6分）
又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形，∴BE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD．∴PA⊥BE，
∴BE⊥面PAE．
∴BE⊥PE，即∠PEB=90°
在Rt△PAB中，得PB=

5

．（9分）
在Rt△PEB中，cos∠PBE=

BE

PB

=

10

5

．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，求異面直線夾角時，通過平移將問題轉化為解三角形問題是解答這類問題的關鍵．