Question

某中學有5名報考藝術類的考生要參加專業測試，已知每位考生專業測試合格的概率等于．
（I ）假設該中學5名考生恰有r人專業測試合格的概率等于，求r的值；
（II）假設該中學5名考生專業測試合格的人數為ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

解：（I）∵每位考生專業測試合格的概率等于．
∴每位考生專業測試不合格的概率等于1-=．
∴該中學5名考生恰有r人專業測試合格的概率
=c₅^Rp^r（1-p）^5-r=?r=3，4．
（II）∵該中學5名考生專業測試合格的人數為ξ：
ξ～B（5，）
∴ξ的期望=5×
方差=5×．
分析：（Ⅰ）由每位考生專業測試合格的概率求得：每位考生專業測試不合格的概率，再結合n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率即可求得該中學5名考生恰有r人專業測試合格的概率，列出方程即可求得r值；
（Ⅱ）根據題意，易得 ξ：ξ～B（5，），根據其概率分布列，由期望的計算公式，結合分布列計算可得ξ的期望和方差．
點評：本題考查對立事件、n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率計算與由分布列求期望的方法，關鍵是明確事件之間的關系，準確得出概率的類型．