Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA．
（Ⅰ）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面EFG⊥平面PDC，根據面面垂直的判定定理可知在平面EFG內一直線與平面PDC垂直，而根據線面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，滿足定理條件；
（II）不妨設MA=1，求出PD=AD，得到V_p-ABCD=S_{正方形ABCD}，求出PD，根據DA⊥面MAB，所以DA即為點P到平面MAB的距離，根據三棱錐的體積公式求出體積得到V _P-MAB：V _P-ABCD的比值．
解答：解：（I）證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC∈平面ABCD，
因為四邊形ABCD為正方形，
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D，
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因為G、F分別是PB、PC中點，
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）因為PD⊥平面ABCD，
四邊形ABCD為正方形，不妨設MA=1，
則PD=AD=2，所以V_p-ABCD=S_{正方形ABCD}，PD=
由于DA⊥面MAB的距離
所以DA即為點P到平面MAB的距離，
三棱錐Vp-MAB=××1×2×2=，
所以V _P-MAB：V _P-ABCD=1：4．
點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查線面垂直、面面垂直的判定及幾何體體積的計算，考查試圖能力和邏輯思維能力．