Question

（平）已知函數f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）在x=-1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）滿足，若存在，求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax²+2ln（1-x），知，由f（x）在x=-1處有極值，知=0，由此能求出a．
（2）求出函數的導數，利用導數在[-3，-2）恒為正，通過二次函數的最值，即可求出實數a的取值范圍．
（3）假設存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值1-2，直接求出a的值．
解答：解：（1）∵f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴1-x＞0，即x＜1，
，
∵f（x）在x=-1處有極值，
∴=0，
解得a=-．
（2）∵f（x）在[-3，-2）上是增函數，
∴≥0對一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤=，
當x∈[-3，-2）時，-＜-6，
∴＞-．故a≤-．
（3）假設存在正數a，使得成立，
=2a-[2a（1-x）+]≤，
由2a（1-x）=，得（1-x）²=，
∴x=1±，
由于x=1+＞1，故應舍去，
當x=1-時，，
令2a-2=1-2，解得a=，或a=．
點評：本題只要考查求函數的導數以及函數的最值問題，體現轉化的數學思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數在定區間上的最值問題，恒成立問題，屬中檔題．