Question

（平）已知函數f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）在x=-1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）滿足f′(x)max=1-2

2

，若存在，求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+2ln（1-x），知f′(x)=2ax-

2

1-x

，由f（x）在x=-1處有極值，知f′(-1)=-2a-

2

1-(-1)

=0，由此能求出a．
（2）求出函數的導數，利用導數在[-3，-2）恒為正，通過二次函數的最值，即可求出實數a的取值范圍．
（3）假設存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值1-2

2

，直接求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴1-x＞0，即x＜1，
f′(x)=2ax-

2

1-x

，
∵f（x）在x=-1處有極值，
∴f′(-1)=-2a-

2

1-(-1)

=0，
解得a=-

1

2

．
（2）∵f（x）在[-3，-2）上是增函數，
∴f′(x)=2ax-

2

1-x

≥0對一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

，
當x∈[-3，-2）時，-(x-

1

2

)2+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

．故a≤-

1

6

．
（3）假設存在正數a，使得f′(x)max=1-2

2

成立，
f′(x)=2ax-

2

1-x

=2a-[2a（1-x）+

2

1-x

]≤2a-2

4a

，
由2a（1-x）=

2

1-x

，得（1-x）²=

1

a

，
∴x=1±

1

a

，
由于x=1+

1

a

＞1，故應舍去，
當x=1-

1

a

時，f′(x) max=2a-2

4a

，
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

，或a=

9

2

-2

2

．

點評：本題只要考查求函數的導數以及函數的最值問題，體現轉化的數學思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數在定區間上的最值問題，恒成立問題，屬中檔題．