Question

在平面上，給定非零向量，對任意向量，定義=-．
（1）若=（2，3），=（-1，3），求；
（2）若=（2，1），證明：若位置向量的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量，當位置向量的終點在拋物線C：x²=y上時，位置向量終點總在拋物線C′：y²=x上，曲線C和C′關于直線l對稱，問直線l與向量滿足什么關系？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，算出=7，=10，代入的表達式并化簡整理，即可得到=（，-）；
（2）設=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上，由題中的表達式解出=（x，y）滿足的關系式，從而得到點
（，）在直線Ax+By+C=0上，化簡整理得到直線（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，說明向量的終點也在一條直線上；
（3））設=（x，y），單位向量=（cosθ，sinθ），解出關于x、y和θ的坐標形式，結合的終點在拋物線x²=y上且終點在拋物線y²=x上，建立關于x、y和θ的方程，化簡整理得到=±（，）．再由曲線C和C′關于直線l：y=x對稱，算出l的方向向量滿足•=0，從而得到直線l與向量垂直．
解答：解：（1）∵=（2，3），=（-1，3），
∴=7，=10，可得=（-1，3）=（-，）
因此=-=（2，3）-（-，）=（，-）；
（2）設=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上
算出=2x'+y'，=5，=（2，1）=（，），
∴=-=（x'，y'）-（，）=（，）
因此，若=（x，y），滿足，得到
∵點（，）在直線Ax+By+C=0上
∴A×+B×+C=0，化簡得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全為零，可得以上方程是一條直線的方程
即向量的終點也在一條直線上；
（3）∵是單位向量，
∴設=（x，y），=（cosθ，sinθ），可得•=xcosθ+ysinθ，
所以=-=-2（xcosθ+ysinθ）=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵的終點在拋物線x²=y上，且終點在拋物線y²=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）²，
化簡整理，通過比較系數可得cosθ=，sinθ=-或cosθ=-，sinθ=
∴=±（，），
∵曲線C和C′關于直線l：y=x對稱，
∴l的方向向量=（1，1）．
可得•=0，即⊥，因此直線l與向量垂直．
點評：本題給出向量的關系式，求證當向量終點在一條直線上時，向量的終點也在一條直線上等問題．著重考查了向量的數量積運算、向量的坐標運算和曲線與方程的討論等知識，屬于中檔題．