Question

求下列各式的值
（1）(cos

π

12

+sin

π

12

)(cos

π

12

-sin

π

12

)=

 

；
（2）cos200°cos80°+cos110°cos10°=

 

；
（3）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=

 

；
（4）cos

π

7

cos

2π

7

cos

3

7

π=

 

；
（5）sin20°sin40°sin80°=

 

；
（6）cos20°+cos100°+cos140°=

 

；
（7）（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用余弦的二倍角公式可得．
（2）通過誘導公式轉換出正弦的兩角和公式得出答案．
（3）先把30°拆成10°+20°，利用正切的兩角和公式得出tan10°+tan20°與tan10°tan20°關系．即可得出答案．
（4）分子分母同時乘2sin

π

7

，配出二倍角公式，最后約分答案可得．
（5）利用積化和差公式
（6）利用和差化積公式
（7）先利用正切的兩角和公式求出（1+tank°）[1+tan（45°-k°）]的值，代入原式即可得出答案．

解答：解：（1）原式=cos²

π

12

-sin²

π

12

=cos（

π

6

）=

3

2

故答案為

3

2

（2）cos200°cos80°+cos110°cos10°
=-sin110°cos80°+cos110°sin10°
=-（sin110°cos80°-cos110°sin10°）
=-sin30°
=-

1

2

故答案為-

1

2

（3）∵tan30°=tan（10°+20°）=

tan10°+tan20°

1-tan10°tan20°

=

3

3

∴

3

（tan10°+tan20°）=1-tan10°tan20°
∴tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°
=tan10°tan20°+tan60°（tan10°+tan20°）
=tan10°tan20°+

3

（tan10°+tan20°）
=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°
=1
故答案為1
（4）cos

π

7

cos

2π

7

cos

3

7

π
=

2sin π 7 cos π 7 cos 2π 7 cos(π- 3π 7 )

2sin π 7

=

-sin 2π 7 cos 2π 7 cos 4π 7

2sin π 7

=

-sin 4π 7 cos 4π 7

4sin π 7

=

-sin 8π 7

8sin π 7

=

-sin(π+ π 7 )

8sin π 7

=

sin π 7

8sin π 7

=

1

8

故答案為：

1

8

（5）sin20°sin40°sin80°
=-

1

2

[sin（20°+40°）-cos（20°-40°）]sin80°
=-

1

2

[sin60°-cos（-20°）]sin80°
=-

1

4

sin80°+

1

2

cos20°sin80
=-

1

4

sin80°+

1

2

×

1

2

（sin100°+sin60°）
=-

1

4

sin80°+

1

4

sin100°+

3

8

=-

1

4

sin80°+sin80°+

3

8

=

3

8

故答案為：

3

8

（6）cos20°+cos100°+cos140°
=2cos（

20°+100°

2

）cos（

20°-100°

2

）+cos140°
=2cos60°cos40°+cos（π-40°）
=cos40-cos40°
=0
故答案為：0
（7）∵（1+tank°）[1+tan（45°-k°）]=1+tank°+tan（45°-k°）+tank°tan（45°-k°）-------（1）
又∵tan45°=tan（45°-k°+k°）=[tan（45°-k°）+tank°]/[1-tank°tan（45°-k°）
∴tan（45°-k°）+tank°=1-tank°tan（45°-k°）
代入（1）式，得
（1+tank°）[1+tan（45°-k°）]=1+tank°+1-tank°tan（45°-k°）+tank°tan（45°-k°）=2
∴（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）
=[（1+tan1°）（1+tan44°）][（1+tan2°）（1+tan43°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]
=2×2×…×2=2²²
故答案為：2²²

點評：本題主要考查三角函數中兩角和公式、倍角公式、積化和差、和差化積等公式．關鍵是能記住這些公式，并熟練運用．