Question

以下命題中正確的個數為（　　）
①若a²+b²=8，則ab的最大值為4；
②若a＞0，b＞0，且2a+b=4，則ab的最大值為4；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，則

1

a

+

1

b

的最小值為1；
④若a＞0，則

2a

a2+1

的最小值為1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據ab≤

a2+b2

2

推斷①正確；根據2a+b≥2

2ab

求得ab的最大值，判斷②不正確；利用

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)展開后根據均值不等式求得

1

a

+

1

b

的最小值判斷出③正確；根據

2a

a2+1

≤

2a

2a

判斷出

2a

a2+1

的最大值為1，推斷④不正確．

解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤

a2+b2

2

=4成立（當且僅當a=b=2或a=b=-2時，取等號），故①正確．
由②知4=2a+b≥2

2ab

，
∴

2ab

≤2，∴ab≤2，
故②不正確．由③可知，a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1．∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)=

1

4

+

b

4a

+

a

4b

+

1

4

≥

1

2

+2

b 4a ． a 4b

=

1

2

+

1

2

=1（當且僅當a=b=2時取等號），故③正確．
由④

2a

a2+1

≤

2a

2a

=1（當且僅當a=1時取等號），
故

2a

a2+1

的最大值是1，故④不正確．
故正確的有①③．
故選B

點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題的應用．要特別留意基本不等式中等號成立的條件．