Question

以下命題中正確的個數為（ ）
①若a²+b²=8，則ab的最大值為4；
②若a＞0，b＞0，且2a+b=4，則ab的最大值為4；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，則+的最小值為1；
④若a＞0，則的最小值為1．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據ab≤推斷①正確；根據2a+b≥2求得ab的最大值，判斷②不正確；利用+=展開后根據均值不等式求得+的最小值判斷出③正確；根據≤判斷出的最大值為1，推斷④不正確．
解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤=4成立（當且僅當a=b=2或a=b=-2時，取等號），故①正確．
由②知4=2a+b≥2，
∴≤2，∴ab≤2，
故②不正確．由③可知，a+b=4，∴+=1．∴+==+++≥+2=
+=1（當且僅當a=b=2時取等號），故③正確．
由④≤=1（當且僅當a=1時取等號），
故的最大值是1，故④不正確．
故正確的有①③．
故選B
點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題的應用．要特別留意基本不等式中等號成立的條件．