Question

有一直圓錐，另外有一與它同底同高的直圓柱，假設a是圓錐的全面積，a′是圓柱的全面積，試求圓錐的高與母線的比值．

Answer 1

分析：設圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為L，由圓柱和圓錐的表面積公式表示出a和a′，
因為R=

L2-h2

，消去R得到L和h的關系，解方程即可．

解答：解：設圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為L，
則

a

a′

=

πR(R+L)

2πR(R+h)

=

R+L

2(R+h)

，
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=

L2-h2

，代入可得
2a(

L2-h2

+h)=a′(

L2-h2

+L)，
（2a-a'）

L2-h2

=a'L-2ah．
兩邊同除以L，可得
（2a-a'）

1-( h L )2

=a′-2a

h

L

．
等式兩邊平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(

h

L

)2]=a′2-4aa′•

h

L

+4a2(

h

L

)2，
(8a2-4aa′+a′2)(

h

L

)2-4aa′

h

L

+(4aa′+a′2)=0．
這個關于

h

L

的一元二次方程的判別式
△=（-4aa'）²-4（8a²-4aa'+a'²）（4aa'+a'²）=16a（2a-a'）³＞0，
∴該一元二次方程有二個實根，此二實根即圓錐的高與母線的比：

h

L

=

4aa′± 16a(2a-a′)3

2(8a2-4aa′+a′2)

=

4aa′±4(2a-a′) a(2a-a′)

2[4a2+(2a-a′)2]

=

2aa′±2(2a-a′) a(2a-a′)

4a2+(2a-a′)2

．

點評：本題考查圓柱和圓錐的表面積公式、二次方程根的問題，考查消元法和構造方程求解．