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若雙曲線-=1的兩條漸近線的夾角為2α，試用α的三角函數值來表示雙曲線的離心率.

思路解析：因為e==,所以a與b的大小影響e的大小，本題應分a≥b與a＜b兩種情況討論.

解：如圖所示，當a≥b時，兩漸近線的夾角為∠POQ,且x軸平分∠POQ，則tanα=.

∵0°＜2α≤90°,∴0°＜α≤45°.

又∵c2=a2+b2,

∴e====.

當a＜b時，兩漸近線的夾角為∠POR，且y軸平分∠POR，則cotα=.

∵0°＜2α≤90°,∴0°＜α≤45°.

又∵c2=a2+b2,

∴e====.

綜上所述，當a≥b時，e=;當a＜b時，e=.

深化升華

    在雙曲線方程中，a、b的大小是不確定的，因而夾角也不確定，必須分類討論.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設平面區域D是由雙曲線y2-
y2
4
=1的兩條漸近線和橢圓
x2
2
+y2=1的右準線所圍成的三角形（含邊界與內部）．若點（x，y）∈D，則目標函數z=x+y的最大值為（　　）
A、1B、2C、3D、6

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科目：高中數學 來源： 題型：

過雙曲線M：x2-
y2
b2
=1的左頂點A作斜率為2的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B、C，且
BC
=2
AB
，則雙曲線M的離心率是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

若雙曲線C的兩條漸近線的方程為y=±
3
4
x，則該雙曲線方程可以為
x2
16
-
y2
9
=1（答案不唯一）
x2
16
-
y2
9
=1（答案不唯一）
．（只需寫出一個滿足題設的雙曲線方程）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•西城區一模）已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1，以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
（x-
5
）2+y2=4，
（x-
5
）2+y2=4，
，若動點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2，則線段AB中點的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4
．

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