Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

2

，且滿足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n：
（Ⅱ）若b_n=-3+log₂a_n（n∈N^*）求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），可得當n≥2時，2S_n=4S_n-1+1，2a_n+1=4a_n，即a_n+1=2a_n，當n=1時，2（a₁+a₂）=4a₁+1，解得a₂=1．滿足

a2

a1

=2．
∴數列{a_n}是等比數列，利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=-3+log₂a_n=-3+log22n-2=n-5．數列{b_n}的前n項和S_n=

n(-4+n-9)

2

=

n(n-9)

2

．當1≤n≤5時，數列{|b_n|}的前n項和T_n=-S_n．當6≤n時，數列{|b_n|}的前n項和T_n=-S₅+b₆+b₇+…+b_n=-2S₅+S_n即可得出．

解答： 解：（I）∵2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），∴當n≥2時，2S_n=4S_n-1+1，
∴2a_n+1=4a_n，即a_n+1=2a_n，
2（a₁+a₂）=4a₁+1，
∴2(

1

2

+a2)=4×

1

2

+1，
解得a₂=1．滿足

a2

a1

=2．
∴數列{a_n}是等比數列，
通項公式a_n=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（II）b_n=-3+log₂a_n=-3+log22n-2=n-5．
數列{b_n}的前n項和S_n=

n(-4+n-5)

2

=

n(n-9)

2

當1≤n≤5時，數列{|b_n|}的前n項和T_n=-S_n=

n(9-n)

2

．
當6≤n時，數列{|b_n|}的前n項和T_n=-S₅+b₆+b₇+…+b_n
=-2S₅+S_n
=

n(n-9)

2

-2×

5×(5-9)

2

=

n(n-9)

2

+20．
綜上可得：T_n=

n(9-n) 2 ，1≤n≤5 n(n-9) 2 +20，n≥6

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式、等差數列的通項公式與前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．