Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形．∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，，AC與BD交于O點，E，H分別為PA，OC的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：PH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為E，O分別為PA，AC的中點，所以EO∥PC．由此能夠證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）連接OP，因為PB=PD，所以O(shè)P⊥BD．在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因為OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．由此能夠證明PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）過點O作OZ∥PH，所以O(shè)Z⊥平面ABCD．以O(shè)為原點，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．得，，．設(shè)=（x，y，z）是平面PAB的一個法向量，由，得．由此能求出直線CE與平面PAB所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：因為E，O分別為PA，AC的中點，
所以EO∥PC
又EO?平面BDE，PC?平面BDE．
所以PC∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：連接OP，
因為PB=PD，
所以O(shè)P⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因為OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以．
又，H為OC的中點，所以PH⊥OC．
又因為BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：過點O作OZ∥PH，所以O(shè)Z⊥平面ABCD．
如圖，以O(shè)為原點，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
可得，，B（0，1，0），，
，．
所以，，．
設(shè)=（x，y，z）是平面PAB的一個法向量，
則，即，
令x=1，則．．
設(shè)直線CE與平面PAB所成的角為θ，
．
所以直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．
點評：本題考查直線和平面平行、直線和平面垂直的證明方法和求直線與平面在所成角的正弦值．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．