Question

若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

答：6≤f(－2)≤10． 　　解：方法一：∵y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)， 　　∴f(x)＝ax2＋bx． 　　∴f(－1)＝a－b， 　　f(1)＝a＋b． 　　∴作出二元一次不等式組 　　所表示的aOb平面內(nèi)的平面區(qū)域(如圖)，此即為所求的可行域． 　　考慮z＝4a－2b，將它變形為b＝2a－z，這是斜率為2，隨z變化的一族平行直線．－z是直線在b軸上的截距，當(dāng)直線截距最大時(shí)z值最小．當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝4a－2b取得最小值；當(dāng)直線截距最小時(shí)，z值最大．當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝4a－2b取得最大值． 　　由圖可知，當(dāng)直線z＝4a－2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z最小． 　　解方程組得A的坐標(biāo)為(2，1)，所以zmin＝4a－2b＝4×2－2×1＝6． 　　當(dāng)直線z＝4a－2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，截距最小，即z最大． 　　解方程組得B的坐標(biāo)為(3，1)， 　　所以zmin＝4×3－2×1＝10． 　　思路分析：方法一：設(shè)出f(x)的表達(dá)式，系數(shù)a，b待定，而f(－2)＝4a－2b的范圍可用線性規(guī)劃的知識(shí)求解． 　　答：6≤f(－2)≤10． 　　解：設(shè)f(－2)＝4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 　　∴ 　　∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)． 　　∵3≤f(1)≤4，1≤f(－1)≤2， 　　∴3≤a＋b≤4①，1≤a－b≤2， 　　3≤3(a－b)≤6②． 　　①＋②，得6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10． 　　思路分析：方法二：設(shè)f(x)＝ax2＋bx，∴f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b，f(－2)＝4a－2b．可將a＋b，a－b看成一個(gè)整體，用待定系數(shù)法．