Question

已知函數f（x）=x²+（a+2）x+b，滿足f（-1）=-2；
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解，求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）在區間[-3，2]上不是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（-1）=-2可得a=b+1  ①，而由f（x）=2x有唯一解得，△=a²-4b=0    ②，所以聯立①②即可得到a，b；
（2）根據f（x）在區間[-3，2]上不是單調函數，便得拋物線頂點在[-3，2]之間，也就是-3＜-

a+2

2

＜2，所以解該不等式即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（-1）=-2得，1-a-2+b=-2，即a=b+1   ①；
由f（x）=2x得，x²+ax+b=0，該方程有唯一解；
∴△=a²-4b=0    ②；
∴由①②解得：a=2，b=1；
（2）f（x）為二次函數，對稱軸為x=-

a+2

2

；
∵f（x）在區間[-3，2]上不是單調函數；
∴-3＜-

a+2

2

＜2，解得：-6＜a＜4；
∴實數a的取值范圍為（-6，4）．

點評：考查一元二次方程解的情況和判別式△的關系，二次函數的對稱軸，以及二次函數的單調性．