Question

給出定義：若函數f（x）在D上可導，即f′（x）存在，且導函數f′（x）在D上也可導，則稱f（x）在D上存在二階導函數，記f^″（x）=（f′（x））′，若f^″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數．對于給出的四個函數：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x⁴+x³-x²+1，④f（x）=-xe^-x
以上四個函數在(0，

π

2

)上是凸函數的是______（請把所有正確的序號均填上）

Answer 1

對于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于③，f″（x）=-2（6x²-3x+1），在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于④，f″（x）=（2-x）•e^-x在x∈（0，

π

2

）時f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=-xe^-x不是凸函數．
故答案為：①②③．