Question

設直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圓P是圓心在x軸的正半軸上，半徑為3的圓．
（Ⅰ）當k=

3

4

時，圓P恰與兩直線l₁、l₂相切，試求圓P的方程；
（Ⅱ）設直線l₁與圓P交于A、B，l₂與圓P交于C、D．
（1）當k=

1

2

時，求四邊形ABDC的面積；
（2）當k∈（0，

3

4

）時，求證四邊形ABDC的對角線交點位置與k的取值無關．

Answer 1

分析：直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx 關于x軸對稱．
（Ⅰ）設圓心P（a，0），a＞0．利用切線的性質：圓心到切線的距離等于半徑，列方程求 a．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（1）等腰梯形ABDC的面積=

1

2

（AC+BD）×h，AC，BD，h用x₁，y₁，x₂，y₂，表示．代入求解．
（2）根據圖形的對稱性，四邊形ABDC的對角線交點在x軸上．能證明此點是定點即可．

解答：解：直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx 關于x軸對稱
（Ⅰ）設圓的標準方程為（x-a）²+y²=9，利用切線的性質：圓心到切線的距離等于半徑，
∴

| 3 4 a|

1+( 3 4 )2

=3，解得a=5
∴圓的標準方程為（x-5）²+y²=9
（Ⅱ）（1）設A （x₁，y₁）B（x₂，y₂），則C（x₁，-y₁）D（x₂，-y₂），直線l₁：y=

1

2

x 與圓P方程聯立，消去x得5y²-20y+16=0，得A（4-

4 5

5

，2-

2 5

5

），B（4+

4 5

5

，2+

2 5

5

）．
等腰梯形ABDC的面積=

1

2

（AC+BD）×h=

1

2

（2y₁+2y₂）（x₂-x₁）=

1

2

×8×

8 5

5

=

32 5

5

．
（2）當k∈（0，

3

4

）時，y=kx與圓P方程聯立，并整理得：（1+k²）x²-10x+16=0，△=-64k²+36＞0．x₁=

10- -64k2+36

2(1+k2)

，x₂=

10+ -64k2+36

2(1+k2)

y₁=

10k- -64k4+36k2

2(1+k2)

，y₂=

10k+ -64k4+36k2

2(1+k2)

，AC的斜率為k=

y1-(-y2)

x1-x2

=-

10k

-64k2+36

．
AC的方程為y-y₁=k（x-x₁），將x₁，y₁，k代入并化簡整理得：y=

k

-64k2+36

(-10x+32)．與x 軸交與定點（

16

5

，0）與k的值無關．

點評：本題考查直線與圓的位置關系：相切，相交．聯立方程組是最基本的解題方法，考查圓心到直線的距離公式，考查題目的理解能力計算能力．