Question

（2013•揭陽一模）如圖，設點F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

PF1

•

PF2

最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n，若l₁、l₂均與橢圓C相切，證明：m+n=0；
（3）在（2）的條件下，試探究在x軸上是否存在定點B，點B到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，請求出點B坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，得到向量

PF1

，

PF2

的坐標，由代入

PF1

•

PF2

得到關于x的函數(shù)關系式，求出其最小值，由最小值等于0得到c的值，則a²可求，所以橢圓C的方程可求；
（2）把兩條直線方程分別和橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0得到m與k和n與k的關系，進一步證出m+n=0；
（3）假設在x軸上存在定點B，使點B到l₁，l₂的距離之積恒為1，由點到直線的距離公式求出點B到l₁，l₂的距離，代入后利用等式恒成立求出B點的橫坐標．

解答：解：（1）設P（x，y），則有

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y).

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]．
由

PF1

•

PF2

最小值為0，得1-c²=0，所以c=1，則a²=b²+c²=1+1=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）把y=kx+m代入橢圓

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直線l₁與橢圓C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化簡得m²=1+2k²，
把y=kx+n代入橢圓

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4nkx+2n²-2=0，
∵直線l₂與橢圓C相切，∴△=16k²n²-4（1+2k²）（2n²-2）=0，化簡得n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，則l₁，l₂重合，不合題意，
∴m=-n，即m+n=0；
（3）設在x軸上存在點B（t，0），點B到直線l₁，l₂的距離之積為1，
則

|kt+m|

k2+1

•

|kt-m|

k2+1

=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去絕對值整理，得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，
k²（t²-3）=2不滿足對任意的k∈R恒成立；而要使得k²（t²-1）=0對任意的k∈R恒成立
則t²-1=0，解得t=±1；
綜上所述，滿足題意的定點B存在，其坐標為（-1，0）或（1，0）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法．屬難題．