Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2．
（1）證明：BD⊥平面SAC；
（2）問：側棱SD上是否存在點E，使得SB∥平面ACE？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四棱錐S-ABCD底面是菱形，得到BD⊥AC且AD=AB，又SA²+AB²=SB²，SA²+AD²=SD²，根據三邊滿足勾股定理可知SA⊥AB，SA⊥AD，又AB∩AD=A，根據線面垂直的判定定理可知SA⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，從而SA⊥BD，又SA∩AC=A，滿足定理條件，BD⊥平面SAC；
（2）在側棱SD上存在點E，使得SB∥平面ACE，其中E為SD的中點，然后證明，設BD∩AC=O，則O為BD的中點，又E為SD的中點，連接OE，則OE為△SBD的中位線，則OE∥SB，又OE?平面AEC，SB?平面AEC，根據線面平行的判定定理可知SB∥平面ACE．
解答：解：（1）∵四棱錐S-ABCD底面是菱形，∴BD⊥AC且AD=AB，
又SA=AB=2，SB=SD=2．∴SA²+AB²=SB²，
SA²+AD²=SD²∴SA⊥AB，SA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，從而SA⊥BD
又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC．

（2）在側棱SD上存在點E，
使得SB∥平面ACE，其中E為SD的中點
證明如下：設BD∩AC=O，則O為BD的中點，
又E為SD的中點，連接OE，
則OE為△SBD的中位線．
∴OE∥SB，
又OE?平面AEC，SB?平面AEC
∴SB∥平面ACE
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于中檔題．