Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2

2

，點F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若點E在棱PD上，當

PE

PD

為多少時二面角E-AC-D的大小為

π

6

？

Answer 1

分析：本題是考查證線線垂直，求線面角與二面的方法，由題設條件，可令BD與AC的交點為O，可證得P0垂直于底面ABCD，由菱形的性質，AC與BD互相垂直，本題的圖象中出現了同一點出發的三條線段兩兩垂直，故可以建立空間坐標系用向量法求解，以O為坐標原點，OB方向為X軸，OC方向為Y軸，OP方向為Z軸建立空間坐標系，
（I）求出PC與BD兩線對應的方向向量，利用內積為0證明線線垂直；
（II）求出直線BF的方向向量，與平面ABCD的法向量，利用公式求線面角；
（III）先設

PE

PD

=t，用t表示出兩個平面的法向量，由于兩平面的夾角為

π

6

，由此建立關于t的方程求出t的值，即可得到點E的位置．

解答：解：令AC與BD的交點為O，由于底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，可得AO=1，BO=

3

又PB=PD=2

2

，在等腰三角形PBD中，由勾股定理可解得P0=

5

故有PA²+AO²=5=PO²，故有PO⊥AC，即有PO，AC，BD三線兩兩垂直，由此，可以O為坐標原點，，OB方向為X軸，OC方向為Y軸，OP方向為Z軸建立空間坐標系，故有A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），P（0，0，

5

）
（I）

PC

=（0，1，-

5

），

BD

=（-2

3

，0，0），因為

PC

•

BD

=0，故有PC⊥BD；
（II）由前證易得P0⊥面ABCD，故

OP

即為平面ABCD的法向量，其坐標為（0，0，

5

）
又F是PC的中點，故其坐標為（0，

1

2

，

5

2

），所以

BF

=（-

3

，

1

2

，

5

2

）
設線面角為θ，故有sinθ=|

OP • BF

| OP ||  BF |

|=

5 2

5 × 3 2 2

=

10

6

，故有θ=arcsin

10

6

，即所求的線面角為arcsin

10

6

（III）連接OE，由于AC⊥面PBD，故可得∠EOD即是二面角E-AC-D的平面角，
設

PE

PD

=t，由PE=tPD，可以得出，ED=（1-t）PD，作EM垂直OD于M，故點E到底面的距離是EM=（1-t）

5

，，OM=t

3

又二面角E-AC-D的大小為

π

6

，可得tan

π

6

=

EM

OM

=

(1-t) 5

t 3

=

3

3

，即有t=（1-t）

5

，解得t=

5

1+ 5

=

5- 5

2

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，由于本題中出現了同一點出發的三條兩兩垂直的直線，適合建立坐標系，故采用了向量法證明線線垂直，求線面角，在第三問中，由于本題中幾何體的結構特點，易得出二面角的平面角，故采用了傳統的立體幾何的方法研究二面角為

π

6

時

PE

PD

的比，解題時要根據題設條件靈活選用方法，以達到簡化解題的目的．