Question

設平面上n個圓周最多把平面分成f（n）片（平面區域），則f（2）=________，f（n）=________．（n≥1，n是自然數）

Answer 1

解：易知：1個圓周最多把平面分成2片，2個圓周最多把平面分成4片；
設n個圓周已把平面分成f（n）片，
再放入第n+1個圓周，為使得到盡可能多的片，第n+1個應與前面n個都相交且交點均不同，
∵有條n公共弦，其端點把第n+1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，
即f（n+1）=f（n）+2n（n≥1），∴f（n）-f（1）=n（n-1），
∵f（1）=2，∴f（n）=n²-n+2．
故答案為：4，n²-n+2．
分析：由題意知個n圓周最多把平面分成的片數構成一個數列，利用圖形特點找出此數列的遞推公式，然后再求通項公式f（n）．
點評：本題的關鍵根據題意和圖形的特點，找出數列的遞推公式，求出f（n）．