Question

（2013•麗水一模）已知四邊形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=

1

2

AF=4，CN=3NA，M，P，Q分別是AF，EF，BC的中點．
（Ⅰ）求證：直線PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）在線段AB上是否存在點R，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到AF⊥AB，以A為坐標原點建立空間坐標系，由題目條件求得各點的坐標，求出平面BMN的一個法向量，然后求向量

PQ

與平面BMN的法向量的數量積，數量積等于0，且PQ不在平面BMN內，則有直線PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）假設在線段AB上是否存在點R，使得平面PQR⊥平面BMN設出點R的坐標，求出平面PQR的一個法向量，由兩個平面的法向量的數量積等于0求得R的坐標，符合實際意義，即R點在線段AB上，由此得出結論．

解答：證明：（Ⅰ） 因為四邊形ABEF是矩形，平面ABEF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB．
如圖建立空間直角坐標系

由AB=AC=4，AF=2AB=8，CN=3AN，∠BAC=120°，
且M，P，Q分別是AF，EF，BC的中點得：
A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(-2，2

3

，0)，F(0，0，8)，E(4，0，8)，
P(2，0，8)，Q(1，

3

，0)，M(0，0，4)，N(-

1

2

，

3

2

，0)
設平面BMN的法向量

n

=(x，y，z)
則

n • BN =0 n • BM =0

⇒

- 9 2 x+ 3 2 y=0 -4x+4z=0

，
令x=1，則

y=3 3 z=1

，所以 

n

=(1，3

3

，1)
又

PQ

=(-1，

3

，-8)，
而 

n

•

PQ

=-1+9-8=0
所以 

n

⊥

PQ

，又PQ?平面BMN
所以PQ∥平面BMN．
（Ⅱ） 存在點R，使平面PQR⊥平面BMN．
證明：假設在線段AB上存在點R，使平面PQR⊥平面BMN
設R（λ，0，0）（0≤λ≤4），平面PQR的法向量為

m

=(x1，y1，z1)
則

m • PQ =0 m • PR =0

⇒

-x1+ 3 y1-8z1=0 (λ-2)x1-8z1=0

，令 x1=

3

則

y1=λ-1 z1= 3 (λ-2) 8

，所以

m

=(

3

，λ-1，

3 (λ-2)

8

)．
若平面PQR⊥平面BMN，則

m

•

n

=0
即

3

+3

3

(λ-1)+

3 (λ-2)

8

=0
得：λ=

18

25

所以，存在點R，使平面PQR⊥平面BMN，且AR=

18

25

．

點評：本題考查了直線與平面，平面與平面垂直的判定，考查了向量法正題，如果兩個平面的法向量相互垂直，則兩個平面相互垂直，解答此類問題的關鍵建立正確的空間坐標系，并能準確的求出所用點的坐標，此題是中檔題．