Question

【題目】已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數f（x）滿足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函數；又定義行列式 ； 函數 （其中 ）．
（1）若函數g（θ）的最大值為4，求m的值．
（2）若記集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）在（﹣∞，0）上是增函數，又f（x）是奇函數，

∴f（x）在（0，+∞）也是增函數，

g（θ）=sin2θ﹣m（3﹣cosθ）=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣ ，

∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，

g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（ ），cosθ=1（ ）， 處取得，

若cosθ=0，g（θ）=4，則有1﹣3m=4，m=﹣1，此時 ，符合；

若cosθ=1，g（θ）=4，則有﹣2m=4，m=﹣2，此時 ，不符合；

若 ，g（θ）=4，則有 ，m=6+4 或m=6﹣4 ，此時 或3-2 ，不符合；

綜上，m=﹣1

（2）解：∵f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，且滿足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，

又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函數，

由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，

又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，

∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，

當m＞ =

=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，

∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，

∴7≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[﹣1，﹣ ]，

此時，m＞﹣ ；

當m＜

=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6

=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，

∴6≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[0，6﹣4 ]，

此時，m＜0；

綜上，m∈（﹣ ，0）

【解析】（1）由已知可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，由定義表示出g（θ），根據二次函數的性質分類討論可表示出其最大值，令其為4可求m值；（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，則M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，從而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，轉化為不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，分離出參數m后，轉化為求函數的最值即可，變形后借助“對勾函數”的性質可求得最值；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．