Question

已知函數f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

+

1

2

（1）求f（x）的單調減區間
（2）在銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊a，b，c且滿足（2b-a）cosC=c•cosA，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦與余弦及兩角和的正弦可求得f（x）=sin（x+

π

6

）+1，再利用正弦函數的單調性即可求得f（x）的單調減區間；
（2）利用正弦定理可求得C=

π

3

，又△ABC為銳角三角形，從而可得A∈（

π

6

，

π

2

），利用正弦函數的單調性質即可求得f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sinx+

1+cosx

2

+

1

2

=cos

π

6

sinx+sin

π

6

cosx+1
=sin（x+

π

6

）+1．
由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得：2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調減區間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]（k∈Z）．
（2）∵△ABC中，（2b-a）cosC=c•cosA，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC，
∴（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
∴2sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin[π-（A+C）]=sinB，sinB≠0，
∴cosC=

1

2

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

．
又△ABC為銳角三角形，
∴0＜B=

2π

3

-A＜

π

2

且0＜A＜

π

2

，
解得A∈（

π

6

，

π

2

），
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴1+

3

2

＜f（A）=sin（A+

π

6

）+1≤2，
即f（A）∈（1+

3

2

，2]．

點評：本題考查二倍角的正弦與余弦及兩角和的正弦，考查正弦定理與正弦函數的單調性質的綜合應用，屬于中檔題．