Question

（2013•青島一模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+

π

6

)(x∈R，ω＞0)的最小正周期為T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α，β∈[0，

π

2

]，f(3α+π)=

16

5

，f(3β+

5π

2

)=-

20

13

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，從而求得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由 f（3α+π）=

16

5

，利用誘導(dǎo)公式求得cosα的值，可得sinα的值．由f(3β+

5π

2

)=-

20

13

求得sinβ，可得cosβ，再利用兩角和差的余弦公式求得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

2π

ω

=6π，ω=

1

3

．…（2分）
∴f(x)=Asin(

x

3

+

π

6

)．再由f（2π）=2得 Asin(

2π

3

+

π

6

)=2，即 Asin

5π

6

=2，
∴A=4，…（4分）
∴f(x)=4sin(

x

3

+

π

6

)…（6分）
（Ⅱ）由 f（3α+π）=

16

5

得 4sin[

1

3

(3α+π)+

π

6

]=

16

5

，即4sin(α+

π

2

)=

16

5

∴cosα=

4

5

，又∵α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

3

5

．．   …（8分）
由f(3β+

5π

2

)=-

20

13

得4sin[

1

3

(3β+

5π

2

)+

π

6

]=-

20

13

，即 sin（β+π）=-

5

13

，
∴sinβ=

5

13

，又∵β∈[0

π

2

]，∴cosβ=

12

13

． …（10分）
從而cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．