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已知函數數學公式a、c∈R滿足條件:①f(1)=0;②對一切x∈R,都有f(x)≥0.
(Ⅰ)求a、c的值;
(Ⅱ)是否存在實數m,使函數g(x)=f(x)-mx在區間[m,m+2]上有最小值-5?若存在,請求出實數m的值;若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)當a=0時,
由f(1)=0得:,即,∴
顯然x>1時,f(x)<0,這與條件②相矛盾,不合題意.
∴a≠0,函數是二次函數. …(2分)
由于對一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數的性質可得

(*)…(4分)
由f(1)=0得 ,即,代入(*)得
整理得 ,即
,∴
代入(*)得,
. …(7分)
另解:(Ⅰ)當a=0時,
由f(1)=0得 ,即

顯然x>1時,f(x)<0,這與條件②相矛盾,
∴a≠0,因而函數是二次函數. …(2分)
由于對一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數的性質可得

…(4分)
由此可知 a>0,c>0,

由f(1)=0,得 ,代入上式得
但前面已推得

解得 . …(7分)
(Ⅱ)∵,∴

該函數圖象開口向上,且對稱軸為x=2m+1. …(8分)
假設存在實數m使函數在區間[m,m+2]上有最小值-5.
①當m<-1時,2m+1<m,函數g(x)在區間[m,m+2]上是遞增的,
∴g(m)=-5,

解得 m=-3或m=
>-1,∴m=舍去. …(10分)
②當-1≤m<1時,m≤2m+1<m+1,函數g(x)在區間[m,2m+1]上是遞減的,而在區間[2m+1,m+2]上是遞增的,
∴g(2m+1)=-5,

解得 m=或m=,均應舍去. …(12分)
③當m≥1時,2m+1≥m+2,函數g(x)在區間[m,m+2]上是遞減的,
∴g(m+2)=-5,

解得 m=或m=,其中m=應舍去.
綜上可得,當m=-3或m=時,函數g(x)=f(x)-mx在區間[m,m+2]上有最小值-5.
…(14分)
分析:(Ⅰ)首先函數是二次函數,再利用二次函數的性質解決對一切x∈R,都有f(x)≥0;根據f(1)=0得 ,即,從而可得 ,進而可得
另解:首先函數是二次函數,再利用二次函數的性質解決對一切x∈R,都有f(x)≥0;由f(1)=0,得 ,代入上式得 ,根據 ,可得,從而有 ,故可求a、c的值;
(Ⅱ).該函數圖象開口向上,且對稱軸為x=2m+1.假設存在實數m使函數在區間[m,m+2]上有最小值-5.根據函數的對稱軸與區間的關系進行分類討論,從而可求m的值
點評:本小題主要考查函數、方程、不等式等基本知識,考查綜合運用數學知識分析和解決問題的能力,本題考查的重點是函數的解析式的求解與函數最值的研究,解題的關鍵是合理運用函數的性質,正確分類,同時考查學生分析解決問題的能力,有一定的綜合性.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)為R上的連續函數且存在反函數f-1(x),若函數f(x)滿足下表:
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那么,不等式|f-1(x-1)|<2的解集是(  )
A、{x|
5
2
<x<4}
B、{x|
3
2
<x<3}
C、{x|1<x<2}
D、{x|1<x<5}

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數g(x)=ax3+bx2+cx(a∈R且a≠0),g(-1)=0,且g(x)的導函數f(x)滿足以f(0)f(1)≤0.若方程f(x)=0有兩個實根,則
b
a
的取值范圍為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:單選題

已知函數f(x)為R上的連續函數且存在反函數f-1(x),若函數f(x)滿足下表:

那么,不等式|f-1(x-1)|<2的解集是


  1. A.
    {x|數學公式<x<4}
  2. B.
    {x|數學公式<x<3}
  3. C.
    {x|1<x<2}
  4. D.
    {x|1<x<5}

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科目:高中數學 來源:2010年高考數學專項復習:不等式(解析版) 題型:選擇題

已知函數f(x)為R上的連續函數且存在反函數f-1(x),若函數f(x)滿足下表:

那么,不等式|f-1(x-1)|<2的解集是( )
A.{x|<x<4}
B.{x|<x<3}
C.{x|1<x<2}
D.{x|1<x<5}

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科目:高中數學 來源:2011屆湖北省襄陽五中高三第四次模擬考試文科數學 題型:單選題

已知是定義域為R的奇函數,,的導函數的圖象如圖所示.若兩正數滿 足,則的取值范圍是(   )

A.B.C.D.

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同步練習冊答案
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