Question

已知△ABC是橢圓的內接三角形，F是橢圓的上焦點，且原點O是△ABC的重心．
（1）求A，B，C三點到F距離之和；
（2）若，求橢圓的方程和直線BC的方程．

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
，則|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），（3分）
因為△ABC的重心在原點O，∴，
又a=3，
∴|AF|+|BF|+|CF|=9；（5分）
（2）設直線AO交BC于M，交橢圓于N，
因為△ABC的重心在原點O，
∴，
又|BM|=|MC|，
所以四邊形OBNC為平行四邊形，（7分）
∴，點N的坐標為，
代入橢圓方程得，b²=8，橢圓的方程，（9分）
結合，
由，，相減得，，（11分）
所以直線BC的方程，即6x+2y-9=0．（12分）
分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），由△ABC的重心在原點O，知，再由a=3能導出|AF|+|BF|+|CF|的值．
（2）設直線AO交BC于M，交橢圓于N，，又|BM|=|MC|，所以四邊形OBNC為平行四邊形，由此入手能夠得到橢圓的方程和直線BC的方程．
點評：本題考查橢圓第二定義、焦半徑公式、三角形重心坐標公式、向量加法幾何意義、及坐標運算、點差法等．
規律總結：（1）若P（x，y）為橢圓上一點，則P到左焦點F₁與到右焦點F₂的距離即焦半徑分別為|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex；若P（x，y）為橢圓上一點，則P到下焦點F₁與到上焦點F₂的距離即焦半徑分別為|PF₁|=a+ey，|PF₂|=a-ey；（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則三角形△ABC重心坐標公式，；（3）設橢圓方程為：（a＞b＞0），k_AB表示橢圓以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為端點的弦AB的斜率，令M（X₀，Y₀）為弦AB的中點，M與橢圓中心O連線的斜率為k_OM，則有；對于雙曲線：（a＞0，b＞0），同理可得；對于拋物線x²=±2py或y²=±2px，也可有或．在研究直線與二次曲線問題時，將這結論適當加以應用，常會使問題的解決變得很簡便．