Question

已知橢圓C的焦點在x軸，焦距為2

3

，F₁，F₂是橢圓的左右焦點，P為橢圓上一點，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l過焦點F₁，斜率為1，交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由已知條件設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，且2c=2

3

，2a=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題設條件設直線l的方程為y=x+

3

，把y=x+

3

代入

x2

4

+y2=1，由此能求出線段AB的長．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的焦點在x軸，焦距為2

3

，
F₁，F₂是橢圓的左右焦點，
P為橢圓上一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
且2c=2

3

，2a=4，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1的左焦點F₁（-

3

，0），
直線l過焦點F₁，斜率為1，
∴直線l的方程為y=x+

3

，
把y=x+

3

代入

x2

4

+y2=1，得：
x2+4(x+

3

)2=4，
整理，得5x2+8

3

x+8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8 3

5

，x₁x₂=

8

5

，
∴線段AB的長|AB|=

(1+1)[(- 8 3 5 )2-4• 8 5 ]

=

8

5

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質的求法，是中檔題，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用．